Question

14．如图所示，函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，$|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的一段图象过点（0，1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据图象经过特殊点（0，1），求得A，可得函数的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，利用正弦函数的增区间求得g（x）的单调增区间．

解答 （1）结合函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，$|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的一段图象，
可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$=π，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{6}$．
再根据函数的图象经过点（0，1）可得Asin$\frac{π}{6}$=1，求得A=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（横坐标不变），
得到函数y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函数g（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，\;\;kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据图象经过特殊点（0，1），求得A，正弦函数的增区间，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的解析式，属于中档题．