Question

在直角坐标系中，把双曲线C₁：

x2

2

-y²=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C₂，给出下列说法：
①C₁与C₂的离心率相同；②C₁与C₂的焦点坐标相同；③C₁与C₂的渐近线方程相同；④C₁与C₂的实轴长相等．
其中正确的说法有（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把双曲线C₁：

x2

2

-y²=1绕原点逆时针旋转90°后，只需将原方程中x，y互换即可得到C₂：

y2

2

-x²=1．
对于①，由a，b的值，可知离心率改变与否；
对于②，由于双曲线的位置改变，可知焦点位置改变；
对于③，在C₂：

y2

2

-x²=1中，令

y2

2

-x²=0，即得渐近线方程；
对于④，由于双曲线的形状未变，可知实轴长未变．

解答： 解：旋转后，双曲线C₂的实轴在y轴上，焦点也在y轴上，
其方程为

y2

2

-x²=1，a=

2

，b=1，c=

a2+b2

=

2+1

=

3

，
考虑①、④：因为a，b，c未变，所以离心率e=

c

a

不变，实轴长2a不变．
考虑②：因为焦点的位置改变，所以C₁与C₂的焦点坐标不同．
考虑③：在C₂的方程

y2

2

-x²=1中，令

y2

2

-x²=0，得渐近线方程为y=±

2

x，
在C₁：

x2

2

-y²=1中，令

x2

2

-y²=0，得渐近线方程为y=±

2

2

x，
所以渐近线方程不同．
所以正确的选项是①④．
故选C．

点评：本题考查了双曲线的方程及双曲线的焦点、离心率、实轴、渐近线等几何性质，关键是知道双曲线的方程与双曲线的焦点、离心率、实轴、渐近线的关系．