Question

8．（文）已知全集U=R，非空集合A={x|x²-5x+6＜0}，B={x|（x-a）（x-a²-1）＜0}．
（1）当a=$\frac{5}{2}$时，求∁_UB∩A；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{5}{2}$时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求（∁_UA）∩B：
（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）A={x|x²-5x+6＜0}={x|2＜x＜3}，
当$a=\frac{5}{2}$时，B=B={x|（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{29}{4}$）＜0}={x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{29}{4}$}，
∴∁_UB={x|x≤$\frac{5}{2}$，或x≥$\frac{29}{4}$}，
∴∁_UB∩A={x|2＜x≤$\frac{5}{2}$}
（2）若q是p的必要条件，即 p⇒q可知A⊆B，
由$a_{\;}^2+1＞a$，$B=\left\{{\left.x\right|a＜x＜a_{\;}^2+1}\right\}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ a_{\;}^2+1≥3\end{array}\right.$，
解得$a≤-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}≤a≤2$，
则a的取值范围为（-∞，-$\sqrt{2}$）∪[$\sqrt{2}$，2]．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．