Question

15．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=15，a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n-3ⁿ （n∈N^*）．
（1）数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前n项和S_n ．

Answer 1

分析 （1）将条件可化为a_n-3ⁿ=2（a_n-1-3^n-1），即为b_n=2b_n-1，再由等比数列的通项，即可得到所求；
（2）a_n=3ⁿ+6•2ⁿ，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=15，a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），
可得a_n-3ⁿ=2a_n-1+3^n-1-3ⁿ，
即有a_n-3ⁿ=2（a_n-1-3^n-1），
即为b_n=2b_n-1，
则b_n=b₁•2^n-1=12•2^n-1=6•2ⁿ；
（2）a_n=3ⁿ+6•2ⁿ，
前n项和S_n =$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+6•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹+3•2ⁿ⁺²-$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．