Question

9．已知a，b∈R，函数f（x）=x²+ax+1，且f（x+1）在定义域上是偶函数，函数g（x）=-bf[f（x+1）]+（3b-1）f（x+1）+2在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数．
（1）求a，b的值；
（2）如果在区间（-∞，-1）上存在函数F（x），满足F（x）•f（x+1）=g（x），当x取何值时，F（x）取得最小值，试求该最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x+1）是偶函数，求出a的值，根据函数g（x）是减函数求出b的值；
（2）先求出函数F（x）的表达式，结合基本不等式的性质，从而求出函数的最小值以及取最小值时的x的值．

解答 解：（1）f（x+1）=（x+1）²+a（x+1）+1=x²+（2+a）x+2+a在定义域上是偶函数，
∴2+a=0，a=-2，
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）² ，∴f（x+1）=x²，
∴g（x）=-bf（x²）+（3b-1）x²+2=-b（x²-1）²+（3b-1）x²+2
=-bx⁴+（5b-1）x²+2-b，
∴g′（x）=-4bx³+2（5b-1）x，
在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数，
g（x）在x=-2处达到极小值
∴g′（2）=32b-4（5b-1）=0，b=-$\frac{1}{3}$
∴a=-2，b=-$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）得：f（x+1）=x²，g（x）=$\frac{1}{3}$x⁴-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{7}{3}$，
∴F（x）=$\frac{g（x）}{f（x+1）}$=$\frac{{x}^{4}-{8x}^{2}+7}{{3x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{7}{{3x}^{2}}$-$\frac{8}{3}$≥2$\sqrt{{\frac{1}{3}x}^{2}•\frac{7}{{3x}^{2}}}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{2\sqrt{7}-8}{3}$，
当且仅当$\frac{1}{3}$x²=$\frac{7}{{3x}^{2}}$即x=-$\root{4}{7}$时，“=”成立．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查了导数的应用，函数的奇偶性，以及基本不等式的性质的应用，本题属于中档题．