Question

函数f（x）=

1

2

（a ^x+a ^-x），（a＞0且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）的图象经过点（2，

41

9

），求f（x）．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数f（x）的图象经过点（2，

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9

），可以求出a的值，然后求f（x）．

解答： 解：（1）函数定义域为R，
∵f（x）=

1

2

（a ^x+a ^-x），（a＞0且a≠1）．
∴f(-x)=

1

2

(ax+a-x)=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）∵f（x）的图象过点（2，

41

9

）
∴

1

2

（a²+a^-2）=

41

9

，
即9a⁴-82a²+9=0，
解得a²=9或a²=

1

9

∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=

1

3

．  
即f(x)=

1

2

(3x+3-x)．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力．