Question

4．已知a＞0，b＞0，且a+b=2．
（1）求$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值及其取得最小值时a，b的值；
（2）求证：a²+b²≥2．

Answer 1

分析 （1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
（2）利用2（a²+b²）≥（a+b）²即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{2}{a}+\frac{8}{b}）$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥$5+2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$a=\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时等号成立．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值为9．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=4，
∴a²+b²≥2，当且仅当a=b=1时取等号．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．