Question

函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求导数，函数f（x）=

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e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，可得f′（x）=0有两个根，令t=e^x，则t²+2mt+（2m+1）=0有两个不等的正根，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1，
则f′（x）=[e^2x+2me^x+（2m+1）]e^x，
∵函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，
∴f′（x）=0有两个根，
令t=e^x，则t²+2mt+（2m+1）=0有两个不等的正根，
∴

△＞0 -2m＞0 2m+1＞0

，
∴m＜1-

2

或m＞1+

2

．
故答案为：m＜1-

2

或m＞1+

2

．

点评：本题考查实数m的取值范围，考查导数知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．