Question

下列几个命题
①函数f（x）=sin|x|是周期为π的偶函数；
②A=Q，B=Q，f：x→

1

x

，这是一个从集合A到集合B的映射；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；
④若△ABC为锐角三角形，则点P（sinA-cosB，cosC-sinB）必在第四象限；
⑤一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中你认为正确的全部有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：写出分段函数判断①；举特例判断②；由函数值域的求法判断③；由三角函数的诱导公式及单调性判断④；写出分段函数后可得直线y=a与曲线y=|3-x²|的交点个数，由此判断⑤．

解答： 解：对于①，当x＞0时，f（x）=sinx．当x＜0时，f（x）=-sinx．
∴函数f（x）=sin|x|是偶函数但不是周期函数．命题①错误；
对于②，A=Q，B=Q，在对应关系f：x→

1

x

的对应下，集合A中的元素0在B中无对应元素，
∴A=Q，B=Q，f：x→

1

x

不是从集合A到集合B的映射．命题②错误；
对于③，函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域也是[-2，2]．命题③错误；
对于④，∵△ABC为锐角三角形，A、B是锐角△ABC的两个内角，
∴A+B＞90°，90°＞A＞90°-B＞0，
又y=sinx在（0，90°）上单调递增，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，
∴sinA-cosB＞0；
同理可得，cosC-sinB＜0，
∴点P在第四象限．命题④正确；
对于⑤，∵曲线y=|3-x²|=

3-x2(- 3 ＜x＜ 3 ) x2-3(x≤- 3 或x≥ 3 )

，
∴直线y=a与曲线y=|3-x²|的交点个数只能是0，2，3，4．
∴命题⑤正确．
∴正确的命题是④⑤．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的诱导公式及单调性的应用，训练了函数零点个数的判断，是中档题．