Question

19．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$表示点（p，f（p） 与点（q，f（q）连线的斜率，因实数p，q在区间（$\frac{2}{3}$，1）内，故?x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）=x²+x+2a＞0恒成立．分离参数，确定范围，即可得出结论；
（2）不等式 $\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1 表示点（p+2，f（p+2）） 与点（q+2，f（q+2））连线的斜率，
因实数p，q在区间（$\frac{2}{3}$，1）内，故p+2和q+2在区间（$\frac{2}{3}$+2，1+2）内．不等式$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，所以函数图象上在区间（$\frac{2}{3}$+2，1+2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（$\frac{2}{3}$+2，1+2）内恒成立．

解答 解：由题意，f′（x）=x²+x+2a
（1）∵?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$＞0恒成立，
∴?x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）=x²+x+2a＞0恒成立，
∴2a＞$-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∴2a≥-$\frac{4}{9}$-$\frac{2}{3}$，
∴a≥-$\frac{5}{9}$；
（2）∵?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，
∴?x∈（$\frac{2}{3}$+2，1+2），f′（x）=x²+x+2a＞1恒成立，
∴2a＞$-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$+1，
∴2a≥-$\frac{64}{9}$-$\frac{8}{3}$+1，
∴a≥-$\frac{79}{18}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．