Question

4．在△ABC中，已知a（bcosB-ccosC）=（b²-c²）cosA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由余弦定理化简已知等式可得a×（b×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-c×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）=（b²-c²）$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：（b²-c²）（b²+c²-a²）=0，从而解得b=c或b²+c²=a²，即可判断三角形的形状．

解答 解：由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
代入a（bcosB-ccosC）=（b²-c²）cosA，
可得：a×（b×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-c×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）=（b²-c²）$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
整理得：b⁴-a²b²-c⁴+a²c²=0．
可得：（b²+c²）（b²-c²）+a²（c²-b²）=0，
可得：（b²-c²）（b²+c²-a²）=0，
可得：b=c或b²+c²=a²，
所以三角形是等腰三角形或直角三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理，平方差公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，分类讨论思想，属于基础题．