Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围；
（3）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因为y=f（x）在x=-2时有极值，所以f′（-2）=0，列三个方程解之即可；
（2）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立，转化为b≥

3x2

x-1

在区间[-2，1]上恒成立，利用函数性质求此函数的最大值即可；
（3）由（1）可知，f（x）解析式，由于不等式f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，须使[f（x）]_min≥m（x∈[-2，1]），再由导数与单调性关系即可得到，f（x）在区间[-2，1]上最小值，继而可以得到m的最大值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
所以f（1）=4，f′（1）=3，
又因为y=f（x）在x=-2时有极值，所以f′（-2）=0，
由于f′（x）=3x²+2ax+b
则

f′(1)=3+2a+b=3 f(1)=1+a+b+c=4 f′(-2)=14-4a+b=0

，解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依题意欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立
即b≥

3x2

x-1

在区间[-2，1]上恒成立
由于

3x2

x-1

≤0，则b≥0时，函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增；
（3）假设在（1）的条件下存在实数m，使得不等式f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，
由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，则f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）＜0，则-2＜x＜

2

3

，则f（x）在区间[-2，

2

3

]上递减，在（

2

3

，1]上递增，
则[f（x）]_min=f（

2

3

）=（

2

3

）³+2×（

2

3

）²-4×

2

3

+5=

145

27

若使f（x）≥m在区间[-2，1]上恒成立，须使[f（x）]_min≥m（x∈[-2，1]），
则m≤

145

27

，则m的最大值为

145

27

．

点评：本题考察了导数的几何意义，利用导数求函数极值，利用导数解决已知函数单调性求参数范围问题的方法，考查了转化化归的思想方法．