Question

函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象过定点P，且点P在直线mx+ny-3=0（m＞0且n＞0）上，则

1

m

+

4

n

的最小值是（　　）

• A、

  13

  3

• B、

  15

  4

• C、

  25

  3

• D、25

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由指数函数可得定点为P（1，4），代入直线方程可得

1

3

（m+4n）=1，可得

1

m

+

4

n

=

1

3

（m+4n）（

1

m

+

4

n

），由基本不等式可得．

解答： 解：当x=1时，可得f（1）=a^1-1+3=4，
∴函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象过定点P（1，4），
∴m+4n-3=0，∴

1

3

（m+4n）=1，
∴

1

m

+

4

n

=

1

3

（m+4n）（

1

m

+

4

n

）=

1

3

（17+

4n

m

+

4m

n

）
≥

1

3

（17+2

4n m • 4m n

）=

25

3

，
当且仅当

4n

m

=

4m

n

即m=n时取等号，
∴

1

m

+

4

n

的最小值为

25

3

故选：C

点评：本题考查基本不等式，涉及指数函数和过定点问题，属基础题．