Question

设函数f（x）=e^xu（x），
（Ⅰ）若u（x）=x²-

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x+2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若u（x）=x²+ax-3-2a，设函数g（x）=（a²+14）e^x+4．当a＞0时，分别求出f（x）和g（x）在x∈[0，4]的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）化简函数并求导，令导数大于0，从而解出增区间；（Ⅱ）求导确定函数的单调区间，由单调区间求函数的最值，进而求值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^xu（x）=（x²-

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x+2）e^x，
f′（x）=（x²-

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x-

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）e^x，
令f′（x）＞0，得x＜-

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或x＞1，
则函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-

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），（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=（x²+ax-3-2a）e^x，
当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在区间（1，4）上单调递增；
∴f（x）≥f（1）=-（a+2）e；
又∵f（0）=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0
∴函数f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]．
又g（x）=（a²+14）e^x+4在区间[0，4]上是增函数，所以它在区间[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]．

点评：本题考查了导数的综合应用，及函数值域的求法，属于中档题．