Question

21．已知函数f（x）=px-

p

x

-2lnx，g（x）=

2e

x

，
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（3）若p²-p≥0，且至少存在一点x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）p=2时，f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，由此能求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，且x＞0，令h（x）=px²-2x+p，要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需h（x）≥0，由此能求出正实数p的取值范围．
（3）g（x）=

2e

x

在[1，e）上是减函数，g（x）∈[2，2e]，当p≤0时，f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；当p≥1时，只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，由此能求出实数p的取值范围．

解答： 解：（1）p=2时，f（x）=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，
f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，k=f′（1）=2+2-2=2，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，且x＞0，
令h（x）=px²-2x+p，
要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需h（x）≥0，
即h（x）=px²-2x+p≥0，等价于p≥

2x

x2+1

令t（x）=

2x

x2+1

，则t′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，由t′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
0＜x＜1时，t′（x）＞0，x＞1时，t′（x）＜0，∴t（x）_max=t（1）=1，
∴正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（3）∵g（x）=

2e

x

在[1，e）上是减函数，
∴g（x）_min=g（e）=2，g（x）_max=g（1）=2e，
∴g（x）∈[2，2e]，
①p＜0时，h（x）=px²-2x+p，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=

1

p

在y轴的左侧，
且h（0）＜0，∴f（x）在[1，e]内是减函数；
p=0，∵x∈[1，e]，∴f′(x)=-

2

x

＜0，∴f（x）在[1，e]内是减函数，
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]内是减函数，
f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意．
②当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
∴只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne，g（x）_min=2，
∴p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

，
∴实数p的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．