Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，O为坐标原点，若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  1+ 5

  2

• B、

  5

  2

• C、

  1+ 3

  2

• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c²-ac-a²=0，再由离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，
∴|EF|=

c2-a2

=b，
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），
∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，
设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为三角形PFF'的中位线，
则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），
则有n²=4cm，
由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，
m=2a-c，n²=4c（2a-c），
又|OP|=c，即有c²=（2a-c）²+4c（2a-c），
化简可得，c²-ac-a²=0，
由于e=

c

a

，则有e²-e-1=0，
由于e＞1，
解得，e=

5 +1

2

．
故选：A．

点评：本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．