Question

设函数f（x）=（x+1）lnx-2x
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设h（x）=f′（x）+

1

ex

，若h（x）＞k（k∈z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域（0，+∞），再求导f′（x）=lnx+

1

x

-1，f″（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；从而判断函数的单调区间；
（2）化简h（x）=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，再求导h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

=

xex-ex-x2

x2ex

，再设设g（x）=xe^x-e^x-x²，g′（x）=x（e^x-2），从而确定函数单调性，化恒成立问题为最值问题，从而求解．

解答： 解：（1）函数的定义域（0，+∞），
f′（x）=lnx+

1

x

-1，f″（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
当x＞1时，f″（x）＞0，函数f′（x）递增，
当0＜x＜1时，f″（x）＜0，函数f′（x）递减，
故f′（x）≥f′（1）=0，
故函数f（x）在（0，+∞）上递增；
（2）h（x）=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，
h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

=

xex-ex-x2

x2ex

，
设g（x）=xe^x-e^x-x²，g′（x）=x（e^x-2），
x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
g（x）＜g（0）=-1＜0；故h′（x）＜0，
故h（x）单调递减；
x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
g（x）＞2ln2-2-（ln2）²，
又g（1）=-1＜0，g（2）=e²-4＞0；
故存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；
在（0，x₀）上，g（x）＜0，在（x₀，+∞）上，g（x）＞0；
h（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增；
h（x）≥h（x₀）=lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

；
又

1

ex0

=

1

x0

-

1

x 2 0

，
所以h（x）≥h（x₀）=lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

=lnx₀+

1

x0

+

1

x0

-

1

x 2 0

-1=lnx₀+

2

x0

-

1

x 2 0

-1，
不妨令M（x）=lnx+

2

x

-

1

x2

-1，
当x∈（1，2）时，M′（x）=

1

x

-

2

x2

+

2

x3

=

1

x

（1-

2

x

+

2

x2

）＞0；
M（x）是单增函数，又M（1）=0，M（2）=ln2-

1

4

＜1；
故1＞h（x₀）=lnx₀+

2

x0

-

1

x 2 0

-1＞0，
所以k≤0，所以k的最大值为0．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．