Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+a}{x}$（a∈R⁺）．
（1）若函数f（x）是奇函数，求b的值；
（2）在（1）的条件下求函数f（x）在x∈[2，±∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，建立方程，即可求出b；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$，分类讨论，结合基本不等式，函数的单调性，即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1），
∴-（1-b+a）=-（1+b+a），
∴b=0；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$
a≥4时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，值域为[2$\sqrt{a}$，+∞）；
0＜a＜4时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥f（2）=2+$\frac{a}{2}$，值域为[2+$\frac{a}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性、值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．