Question

已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是(

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，2)；     
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）；
④函数f（x）有且只有一个零点．    
其中真命题的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x=-

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3

，x₂=2，分别求出函数的极大值和极小值，知①错误，②④正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正确；

解答： 解：f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x）=3x²-4x-4．
令f′（x）=0，解得x=-

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，x=2，
当f′（x）＞0时，即x＜-

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，或x＞2时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即-

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＜x＜2时，函数单调递减；
故当x=2时，函数有极小值，极小值为f（-2）=-15，当x=-

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3

时，函数有极大值，极大值为f（-

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3

）＜0，
故函数只有一个零点，
①错误，②④正确；∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
所以中真命题的个数为3个，
故选：C

点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．