Question

10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$asinC=c（1+cosA）．
（1）求角A；
（2）若a²=16-3bc，且S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由0＜A＜π，得-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，利用特殊角的三角函数值可求A的值．                                          
（2）由已知及余弦定理可求b+c=4，又利用三角形面积公式可求bc=4，联立即可解得b，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}$asinC=c（1+cosA），
∴由正弦定理得$\sqrt{3}$sinAsinC=sinC（1+cosA）．            …（2分）
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，故$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=$\frac{1}{2}$，所以sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．…（4分）
由0＜A＜π，得-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，故A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$．
∴A=$\frac{π}{3}$；                                              …（6分）
（2）在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，故16-3bc=b²+c²-bc．
∴（b+c）²=16，故b+c=4． ①…（9分）
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，
∴bc=4．②…（11分）
联立①②式解得b=c=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．