Question

在△ABC中，已知C=

π

6

，向量

m

=（sinA，1），

n

=（1，cosB），且

m

⊥

n

．
（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且3

BD

=

BC

，

AD

=

13

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数；
（2）设|

BD

|=x，由3

BD

=

BC

，得|

BC

|=3x，由A的度数与C度数相等，可得出|

BA

|=3x，B=

2π

3

，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinA，1），

n

=（1，cosB），且

m

⊥

n

，
∴sinA+cosB=0，
又C=

π

6

，A+B+C=π，
∴sinA+cos（

5π

6

-A）=0，即sinA-

3

2

cosA+

1

2

sinA=sin（A-

π

6

）=0，
又0＜A＜

5π

6

，∴A-

π

6

∈（-

π

6

，

2π

3

），
∴A-

π

6

=0，即A=

π

6

；
（2）设|

BD

|=x，由3

BD

=

BC

，得|

BC

|=3x，
由（1）知A=C=

π

6

，
∴|

BA

|=3x，B=

2π

3

，
在△ABD中，由余弦定理，得13=9x²+x²+3x²，
解得：x=1，
∴AB=BC=3，
则S_△ABC=

1

2

BA•BC•sinB=

1

2

×3×3×sin

2π

3

=

9 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．