Question

12．若α+β=$\frac{π}{4}$，且α，β均不等于kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求证：（tanα+1）（tanβ+1）=2．

Answer 1

分析 先根据α+β=$\frac{π}{4}$，求出tanα、tanβ的关系式，再将（1+tanα）（1+tanβ）展开即可得到答案．

解答 证明：∵α+β=$\frac{π}{4}$，且α，β均不等于kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1，
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tanα+tanβ+tanαtanβ=1，
∴（1+tanα）（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+1=2．

点评 本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．