题目内容
17．在直角坐标系xOy中，射线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）已知M是C1上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，求P点的轨迹的极坐标方程；
（Ⅱ）记P点的轨迹为C2，设射线l与曲线C1与C2分别交于点A，B（异于A，B极点），求|AB|．
分析 （I）设P（ρ，θ），则M（$\frac{ρ}{2}$，θ），将M点极坐标代入曲线C1极坐标方程得出P的轨迹方程．
（II）由轨迹方程的定义可知|AB|=|OA|，故只需求出l被曲线C1所截线段长|OA|即可．使用参数几何意义求出|OA|．
解答 解：（I）设P点极坐标为（ρ，θ），∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴M点的极坐标为（$\frac{ρ}{2}$，θ）．
∵M是C1上的动点，∴$\frac{ρ}{2}$=4sinθ，即ρ=8sinθ．
∴P点的轨迹的极坐标方程是ρ=8sinθ．
（II）曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4．
将$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）代入x2+（y-2）2=4得t2-$\sqrt{3}t$=0，
解得t1=0，t2=$\sqrt{3}$，∴|OA|=$\sqrt{3}$，
由（I）可知|OB|=2|OA|=2$\sqrt{3}$．
∴|AB|=|OA|=$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了轨迹方程的求法，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．
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