Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n满足：S_n²+2ⁿS_n-2²ⁿ⁺¹=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n-1

(Sn-1)(an-1)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出Sn=2n，由此能求出an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）当n=1时，T₁=b₁=1＜2．当n≥2时，bn=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，由此利用裂项求和法能证明对于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

解答： （1）解：Sn2+2nSn-22n+1=0，
(Sn-2n)(Sn+2n+1)=0，解得Sn=2n
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
∵n=1不适合，
∴an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）证明：当n=1时，b1=

21-1

(S1-1)(a1-1)

=

1

(2-1)2

=1，T₁=b₁=1＜2．
当n≥2时，bn=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

Tn=1+(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2-

1

2n-1

＜2
综上，对于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．