Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-

a

x

（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）
（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（

2a

x2+1

）+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；
（II）先把问题转化为F'（x₀）=

x0+a

x02

≤

1

2

恒成立；再结合二次函数即可求出结论；
（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．

解答： 解：（I）∵F（x）=f（x）+g（x）=lnx-

a

x

，
∴F'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0，a＞0，
∴F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上递增；
（II）∵F'（x）=

x+a

x2

，（0＜x≤3），
则k=F'（x₀）=

x0+a

x02

≤

1

2

恒成立；
即a≤

1

2

（x02-2x₀）在（0，3]上恒成立，
当x₀=1时，

1

2

（x02-2x₀）取到最小值-

1

2

，
∴a≤-

1

2

．
即a的最大值为-

1

2

．
（III）y=g（

2a

x2+1

）+m-1=-

1

2

x²+m-

3

2

的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即，-

1

2

x²+m-

3

2

=ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

；
则G'（x）=

2x

1+x2

+x=

x(x+1)2

1+x2

；
∴x＞0时，G′（x）＞0，G（x）递增，x＜0时，G′（x）＜0，G（x）递减，
∴G（x）_min=G（0）=

3

2

＞0，
∴不存在实数m，使得函数y=g（

2a

x2+1

）+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同交点．

点评：本题主要考察了应用导数求函数的单调区间，极值，最值，以及恒成立问题的判断．