Question

已知向量（λ≠0），，，其中O为坐标原点．
（1）若λ=2，，β∈（0，π），且，求β；
（7）若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据给出的λ和α的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；
（2）把向量和的模代入后得到关于λ的不等式λ²+1+2λsin（β-α）≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．
解答：解：（1）若λ=2，，则，，
由，得：，即，
所以，因为，所以，所以．
（2）若对任意实数α，β都成立，则（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4对任意实数α，β都成立，
即λ²+1+2λsin（β-α）≥4对任意实数α，β都成立，
所以，或，解得：λ≥3或λ≤-3，
所以实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
点评：本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查计算能力，数学转化思想和函数思想，是中等难度的题目．