题目内容

已知向量
a
=(0,-1)
b
=(
1
2
,1)
,直线l经过定点A(0,3)且以
a
+2
b
为方向向量.又圆C的方程为(x-m)2+(y-2)2=4(m>0).
(1)求直线l的方程;
(2)当直线l被圆C截得的弦长为2
3
时,求实数m的值.
分析:(1)由两向量的坐标求出
a
+2
b
的坐标,再由A坐标,表示出直线l方程即可;
(2)由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,再由弦长,利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.
解答:解:(1)∵
a
=(0,-1),
b
=(
1
2
,1),
a
+2
b
=(1,1),
∵直线l经过定点A(0,3),
∴直线l的点方向式方程为
x
1
=
y-3
1
,即x-y+3=0;
(2)∵圆心(m,2)到直线x-y+3=0的距离d=
|m-2+3|
2
,r=2,弦长为2
3

∴(
|m-2+3|
2
2+3=4,
解得:m=
2
-1或m=-
2
-1(舍去),
则实数m的值为
2
-1.
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,平面向量的数量积运算,点到直线的距离公式,垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握法则及定理是解本题的关键.
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