Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）求证：平面PBD⊥平面PBE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已条条件推导出平面BEC∥平面PDA，由此能证明BE∥平面PDA．
（2）连接AC与BD交于点F，连接NF，由已知条件推导出四边形NFCE为平行四边形，由此推导出NE⊥面PDB．从而能证明平面PBD⊥平面PBE．

解答： 证明：（1）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA，
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（2）连接AC与BD交于点F，连接NF，
∵F为BD的中点，∴NF∥PD，且NF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，∴NF∥EC且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．
∵NE?平面PBE，∴平面PBD⊥平面PBE．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．