Question

（文）在空间几何体PQ-ABC中，PA⊥平面ABC，平面QBC⊥平面ABC，AB=AC，QB=QC．
（1）求证：PA∥平面QBC；
（2）如果PQ⊥平面QBC，求证：V_Q-PBC=V_P-ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取BC中点D，连QD，证明QD⊥平面ABC，利用PA⊥平面ABC，即可证明PA∥平面QBC；
（2）证明AD⊥平面QBC，利用PQ⊥平面QBC，可得PQ∥AD，四边形APQD是矩形，即可证明V_Q-PBC=V_P-ABC．

解答： 证明：（1）如图，取BC中点D，连QD，
由QB=QC得QD⊥BC，∵平面QBC⊥平面ABC，
∴QD⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（2）连接AD，则AD⊥BC．
∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC=BC，
∴AD⊥平面QBC．
又∵PQ⊥平面QBC，∴PQ∥AD．
又由（1）知，四边形APQD是矩形，
∴PQ=AD，PA=QD．
∴V_Q-PBC=V_P-QBC=

1

3

•（

1

2

BC•QD）•PQ，
而V_P-ABC=

1

3

•（

1

2

BC•AD）•PA，则V_Q-PBC=V_P-ABC．

点评：本题考查线面平行，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键．