Question

在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为（2，

π

2

）．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），求|MA|•|MB|．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）先求出圆心C的直角坐标，再根据半径为2，可得圆C的直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入原C的方程化简，利用韦达定理可得 t₁•t₂=3+4

3

，再根据参数的几何意义可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）圆心C的直角坐标为（0，2），再根据半径为2，可得圆C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4，
再把它化为极坐标方程为 ρ=4sinθ．
（Ⅱ）把直线l的参数方程

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

 代入原C的方程化简可得t²-（3+2

3

）t+3+4

3

=0．
再利用韦达定理可得 t₁•t₂=3+4

3

，再根据参数的几何意义可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=3+4

3

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，韦达定理、直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题．