Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，求a_n．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，可得

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，即

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），数列{

1

an+1

+1}是首项为

1

a1

+1=1+1=2，公比为2的等比数列，从而可求得a_n．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），
∴数列{

1

an+1

+1}是首项为

1

a1

+1=1+1=2，公比为2的等比数列，
∴

1

an

+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴

1

an

=2ⁿ-1，
∴a_n=

1

2n-1

，
故答案为：

1

2n-1

．

点评：本题考查等比关系的确定，分析得到数列{

1

an+1

+1}是首项为

1

a1

+1=2，公比为2的等比数列是关键，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．