Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求sin（α-β）的值；
（Ⅱ）求α+2β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方关系求出sinα，sinβ的值，结合两角差的正弦求得sin（α-β）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），结合角的范围求得α+2β的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，$cosα=\frac{\sqrt{2}}{10}，cosβ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵α，β为锐角，∴sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{13\sqrt{10}}{50}$；
（Ⅱ）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}+（-\frac{\sqrt{10}}{10}）×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜α+2β＜$\frac{3π}{2}$，
∴α+2β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和与差的正弦余弦，是中档题．