Question

18．一个暗箱中有大小相同的4只求，其中有k（k∈N）只白球，其余的为黑球，每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙球是从暗箱中一次性取出2只球．
（1）当k=2时，分别写出甲、乙总得分ξ、η的分布列．
（2）若要使甲总得分比乙总得分高的概率达到最大，则k的值为多少．

Answer 1

分析 （1）当k=2时，甲总得分ξ的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列；乙总得分η的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出乙总得分η的分布列．
（2）当k=2时，甲总得分比乙总得分高的概率为P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）；当k=1时，甲总得分比乙总得分高的概率为P（ξ＞η）=P（ξ=4）P（η=3）；当k=3时，甲总得分比乙总得分高的概率为P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）．由此能求出当k=2时甲总得分比乙总得分高的概率达到最大．

解答 解：（1）当k=2时，甲总得分ξ的可能取值为2，3，4，
P（ξ=2）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$．
∴甲总得分ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

乙总得分η的可能取值为2，3，4，
P（η=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
∴乙总得分η的分布列为：

η	2	3	4
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

（2）由（1）知当k=2时，甲总得分比乙总得分高的概率为：
P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$．
当k=1时，甲总得分比乙总得分高的概率为：
P（ξ＞η）=P（ξ=4）P（η=3）=（$\frac{3}{4}$）²×$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{9}{32}$，
当k=3时，甲总得分比乙总得分高的概率为：
P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）
=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
比较三者得到当k=2时甲总得分比乙总得分高的概率达到最大．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．