Question

3．若直线xcosα+ysinα-1=0与圆（x-1）²+（y-sinα）²=$\frac{1}{16}$相切，α为锐角，则斜率k=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． -$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据圆心到直线的距离等于半径即可求解．

解答 解：直线xcosα+ysinα-1=0，圆（x-1）²+（y-sinα）²=$\frac{1}{16}$，可知圆心为（1，sinα）．半径r=$\frac{1}{4}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{|cosα+si{n}^{2}α-1|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}=\frac{1}{4}$．
可得：cos²a-cosα±$\frac{1}{4}$=0，
∵α为锐角，
∴cosα=$\frac{1}{2}$．
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
那么斜率k=$-\frac{cosα}{sinα}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．