Question

19．已知f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-1
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若y=f（x+φ）关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，求|φ|的最小值；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，若方程|f（x）|-m=0有4个不同的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式与辅助角公式化简，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）求出f（x+φ），由y=f（x+φ）关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得$\frac{2π}{3}+$2φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+$kπ，k∈Z，得φ=$-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．进一步求得|φ|的最小值；
（3）画出|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的图象，数形结合得答案．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-1
=$\sqrt{3}sin2x+2co{s}^{2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）在R上的单调递减区间是[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），
∵x=$\frac{π}{3}$是f（x+φ）的对称轴，
∴$\frac{2π}{3}+$2φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+$kπ，k∈Z，即φ=$-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴|φ|的最小值为$\frac{π}{6}$；
（3）|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的图象如下：

当直线y=m与函数y=|f（x）|的图象有4个不同交点时，就是方程
|f（x）|-m=0有4个不同的实数根，由图可知，m的取值范围是∅．

点评 本题考查根的存在行与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．