Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，点P(

3

，

1

2

)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0），作两条互相垂直的动直线QA、QB，分别交椭圆C于 A、B两点，求证：直线AB必过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用离心率以及点的坐标满足的方程，abc的关系，求出ab，即可得到椭圆的标准方程．
（Ⅱ）法一：设直线QA的方程为y=k（x-2）（k≠0），求出直线QB的方程为y=-

1

k

(x-2)，将直线QA的方程为y=k（x-2）（k≠0）代入椭圆方程整理，设A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），通过韦达定理，化简直线AB，然后推出无论k取何值，直线AB必过定点(

6

5

，0)．
法二：通过去特殊值直线QA的斜率分别为1和-

3

，得到直线AB的方程，两直线的交点为P(

6

5

，0)，由法一得A(

8k2-2

1+4k2

，

-4k

1+4k2

)．B(

8-2k2

4+k2

，

4k

4+k2

)，求出kPA=

5k

4(1-k2)

，kPB=

5k

4(1-k2)

，利用A、B、P三点共线，推出直线AB过定点(

6

5

，0)．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

c

a

=

3

2

，

3

a2

+

( 1 2 )2

b2

=1，
a²=b²+c²
解得a=2，b=1，
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）法一：
设直线QA的方程为y=k（x-2）（k≠0），则直线QB的方程为y=-

1

k

(x-2)．…（5分）
将直线QA的方程为y=k（x-2）（k≠0）代入椭圆方程整理可得
（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0△=（16k²）²-4•（1+4k²）•（16k²-4）=1＞0…（6分）
设A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），则2xA=

16k2-4

1+4k2

所以xA=

8k2-2

1+4k2

yA=k(xA-2)=

-4k

1+4k2

…（7分）
同理可得xB=

8-2k2

4+k2

，yB=

4k

4+k2

所以kAB=

yA-yB

xA-xB

=

5k

4(1-k2)

故直线AB的方程为：y+

4k

1+4k2

=

5k

4(1-k2)

(x-

8k2-2

1+4k2

)，…（8分）y+

4k

1+4k2

=

5kx

4(1-k2)

-

5k(8k2-2)

4(1-k2)(1+4k2)

4（1+4k²）（1-k²）y+16k（1-k²）=5k（1+4k²）x-5k（8k²-2）
4（1+4k²）（1-k²）y=5k（1+4k²）x-6k（1+4k²）
4（1-k²）y=k（5x-6）
显然当x=

6

5

时，y=0，…（10分）
当k=0时，直线QA为x轴，点A为椭圆的左顶点；
直线QB垂直于x轴，点B和点Q重合，直线AB即为x轴，过定点(

6

5

，0)．
所以无论k取何值，直线AB必过定点(

6

5

，0)．…（12分）
法二：
令直线QA的斜率分别为1和-

3

，则直线QB的斜率分别为-1和

3

3

…（5分）
得到直线AB的方程为x=

6

5

和y=

5 3

8

(x-

6

5

)…（6分）
两直线的交点为P(

6

5

，0)由法一得A(

8k2-2

1+4k2

，

-4k

1+4k2

)．B(

8-2k2

4+k2

，

4k

4+k2

)…（8分）
计算可得kPA=

5k

4(1-k2)

，kPB=

5k

4(1-k2)

所以k_PA=k_PB，即A、B、P三点共线，因此直线AB过定点(

6

5

，0)…（10分）
当k=0时，直线QA为x轴，点A为椭圆的左顶点；
直线QB垂直于x轴，点B和点Q重合，直线AB即为x轴，过定点(

6

5

，0)．
所以无论k取何值，直线AB必过定点(

6

5

，0)．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，分类讨论以及分析问题解决问题的能力．