Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
（1）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（2）当b=1时，设α，β是f（x）的两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x₁，x₂∈[α，β]，|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：本题（1）在条件a=1，b=0下，对函数f（x）求导函数，根据导函数值正负，得到函数的单调区间，求出f（x）的最大值，得到本题结论；（2）先根据条件α，β是f（x）的两个极值点，得到α，β是f′（x）=0的两个根，将|f（x₁）-f（x₂）|转化为[f（x）]_max、[f（x）]_min的关系得到关于a的函数，再构造新函数，求出最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
∴x＞0，f′（x）=

a

x

+bx-(a+b)，
（1）当a=1，b=0时，f′（x）=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，得：x＞1．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
∴[f（x）]_max=f（1）=-1．
（2）当b=1时，f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x，
则f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
令f′（x）=0，得：x=1或x=a．
∵α，β是f（x）的两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，
∴当x∈[α，β]时，f′（x）≤0，即f（x）在[α，β]上单调递减，
∴[f（x）]_min=f（a），[f（x）]_max=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=f（1）-f（a）=

1

2

a2-alna-

1

2

．
令g（a））=

1

2

a2-alna-

1

2

．
则g′（a）=a-1-lna，
由（1）知：lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
即g′（a）≥0，g（a）在（1，e]单调递增，
∴g（a）≤g（e）=

1

2

e²-e-

1

2

=e(

1

2

e-1)-

1

2

＜3(

3

2

-1)-

1

2

=1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

点评：本题考查了导函数在函数研究中的应用，还考查了构造函数的思想，本题思维难度较大，计算复杂，属于难题．