Question

5．已知数列$\frac{1}{1×3}，\frac{1}{3×5}，\frac{1}{5×7}，…，\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…，S_n是其前n项和，计算S₁、S₂、S₃，由此推测计算S_n的公式，并给出证明．

Answer 1

分析 直接计算可得S₁、S₂、S₃，由此猜测${S_n}=\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．运用数学归纳法和裂项相消求和，即可得到结论．

解答 解：S₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$；
S₂=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）=$\frac{2}{5}$；
S₃=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$）=$\frac{3}{7}$．
可得${S_1}=\frac{1}{3}，{S_2}=\frac{2}{5}，{S_3}=\frac{3}{7}$；
猜测${S_n}=\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．
（方法一）用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，S₁=$\frac{1}{2×1+1}$=$\frac{1}{3}$，猜想成立；
（2）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立．即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
那么当n=k+1时，有${S_{k+1}}={S_k}+\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
综上，对任意n∈N*，猜想成立．
（ 方法二 ）由$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的求和的方法：数学归纳法和裂项相消求和，考查归纳和猜想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．