Question

1．设点A（-1，0，3），B（0，2，2），C（2，-2，-1），D（1，-1，1），求与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$都垂直的单位向量．

Answer 1

分析 设与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$都垂直的向量为$\overrightarrow{n}$，列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，求出$\overrightarrow{n}$，再求$\overrightarrow{n}$对应的单位向量即可．

解答 解：设与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$都垂直的向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AB}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-5y}\\{z=-3y}\end{array}\right.$；
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-5，1，-3）；
∴|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{（-5）}^{2}{+1}^{2}{+（-3）}^{2}}$=$\sqrt{35}$，
∴所求的单位向量为
±$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=±（$\frac{-5}{\sqrt{35}}$，$\frac{1}{\sqrt{35}}$，$\frac{-3}{\sqrt{35}}$）=±（-$\frac{\sqrt{35}}{7}$，$\frac{\sqrt{35}}{35}$，-$\frac{3\sqrt{35}}{35}$）．

点评 本题考查了求两空间向量的法向量的应用问题，也考查了单位向量的应用问题，是基础题目．