题目内容

12．已知椭圆C的中心在坐标原点O，左、右焦点分别为F1、F2，点A时椭圆C上任一点，且|AF1|•|AF2|的最大值为3，以椭圆C的右焦点为圆心，焦距为直径的圆与直线l1：x+$\sqrt{3}$y+1=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点的直线l2与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，以OP，OQ为邻边作?OQNP，当?OQNP的面积为$\sqrt{6}$时，证明：|ON|2+|PQ|2为定值．

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．设|AF1|=m，|AF2|=n，则mn≤3，由于m+n=2a，利用基本不等式的性质：a2=3．由于以椭圆C的右焦点为圆心，焦距为直径的圆与直线l1：x+$\sqrt{3}$y+1=0相切．可得$\frac{|c+1|}{2}$=c，c＞0，解得c，可得b2=a2-c2．
（2）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx+m，线段PQ的中点M（x0，y0）．与椭圆方程联立化为：（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：|ON|2=4|OM|2=$4（{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$，|PQ|2=（1+k2）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$．原点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，平行四边形OQNP的面积S=2×$\frac{1}{2}$|PQ|•d=|PQ|•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，可得|PQ|2=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{{m}^{2}}$．得到m与k的关系，代入|ON|2+|PQ|2，即可证明．当直线l2的斜率不存在时，同样成立．

解答 （1）解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
设|AF1|=m，|AF2|=n，则mn≤3，
∵m+n=2a≥2$\sqrt{mn}$，当且仅当m=n时取等号，a2=3．
∵以椭圆C的右焦点为圆心，焦距为直径的圆与直线l1：x+$\sqrt{3}$y+1=0相切．
∴$\frac{|c+1|}{2}$=c，c＞0，解得c=1，
∴b2=a2-c2=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）证明：当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx+m，线段PQ的中点M（x0，y0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，
△＞0，可得x1+x2=-$\frac{6km}{2+3{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$．
∴x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-3km}{2+3{k}^{2}}$，y0=kx0+m=$\frac{2m}{2+3{k}^{2}}$．
∴|ON|2=4|OM|2=$4（{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$=$\frac{4{m}^{2}（9{k}^{2}+4）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$．
|PQ|2=（1+k2）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=（1+k2）$[\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（2+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（3{m}^{2}-6）}{2+3{k}^{2}}]$=$\frac{12（4+6{k}^{2}-2{m}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$×（1+k2）．
∴|ON|2+|PQ|2=$\frac{12{m}^{2}{k}^{2}+120{k}^{2}+72{k}^{4}-8{m}^{2}+48}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$．
原点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
平行四边形OQNP的面积S=2×$\frac{1}{2}$|PQ|•d=|PQ|•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
∴|PQ|2=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{{m}^{2}}$．
∴$\frac{12（4+6{k}^{2}-2{m}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$×（1+k2）=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{{m}^{2}}$，化为：2m2=2+3k2．
代入|ON|2+|PQ|2=$\frac{（2+3{k}^{2}）（6{k}^{2}-4）+120{k}^{2}+72{k}^{4}+48}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$=10．
∴|ON|2+|PQ|2为定值10．
当直线l2的斜率不存在时，同样成立．
综上可得：|ON|2+|PQ|2为定值10．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、平行四边形的面积计算公式、点到直线的距离公式公式、弦长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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