Question

13．已知实数u，v满足u＞|v|，2u=3（u²-v²），则3u+v的取值范围是[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．

Answer 1

分析 把已知条件变形，然后作出可行域，在利用线性规划知识求解．

解答 解：由u＞|v|，得$\left\{\begin{array}{l}{v≥0}\\{u＞v}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{v＜0}\\{u＞-v}\end{array}\right.$；
由2u=3（u²-v²），得$（u-\frac{1}{3}）^{2}-{v}^{2}=\frac{1}{3}$．
作出可行域如图双曲线右支，

令z=3u+v，化为v=-3u+z，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2u=3（{u}^{2}-{v}^{2}）}\\{v=-3u+z}\end{array}\right.$，消去v得：24u²+（2-18z）u+3z²=0．
由△=（2-18z）²-12×24z²=0，得9z²-18z+1=0．
解得：$z=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$（舍）或$z=\frac{3+2\sqrt{2}}{3}$．
∴3u+v的取值范围是[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．
故答案为：[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属中档题．