Question

（本题满分12分）
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ，为的中点．

（1）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，在棱上存在点，使平面？

Answer 1

（1）（2）2

试题分析：（1）分别取、的中点、，连接、．
以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，则、、的坐标分别为
（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
设平面的法向量，
由得
，可取         …… 3分
平面的法向量可以取           
∴           …… 5分
∴平面与平面的夹角的余弦值为．                  ……6分
（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，设，则

∴
于是平面的充要条件为

由此解得，    ……10分
即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面. ……12分
点评：空间向量解决立体几何问题的关键是建立合适的坐标系，找准相关点的坐标