Question

（本小题满分16分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面切于点．

（1）求证：PD⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．

Answer 1

（1）先证，推出，证明；
（2）；（3） 

试题分析：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则,……2分
因为，则，又，
所以，则， ……4分
因此有， ……5分
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，
，，，            ……8分

设平面的一个法向量，由可得：，
令，则，即.           ……10分
设所求角为，则，        ……12分
（3）设所求距离为，由，得： ……16分
点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，应用空间向量，可使问题简化。