Question

2．已知函数f（x）=a•4^x-2^x+1-a
（1）若a=0，解方程f（2x）=-$\frac{1}{32}$；
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出函数f（x）的解析式，解方程f（2x）=-$\frac{1}{32}$即可；
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，利用参数分离法，结合函数的单调性即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=-2^x+1，
则f（2x）=-2^2x+1，
由f（2x）=-$\frac{1}{32}$；
得-2^2x+1=-$\frac{1}{32}$；
即2^2x+1=$\frac{1}{32}$=2^-5；
即2x+1=-5，得2x=-6．
解得x=-3，即方程的根为x=-3．
（2）若方程a•4^x-2^x+1-a=0在[1，2]上有根，
则a（4^x-1）=2^x+1，
∵1≤x≤2，∴3≤4^x-1≤15，
则a=$\frac{{2}^{x+1}}{{4}^{x}-1}$=$\frac{2}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，
设y=$\frac{2}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，则函数在1≤x≤2上为减函数，
∴当x=1时，函数取得最大值此时y=$\frac{4}{3}$，
当x=2时，函数取得最小值此时y=$\frac{8}{15}$，
即$\frac{8}{15}$≤y≤$\frac{4}{3}$，
则若a=$\frac{{2}^{x+1}}{{4}^{x}-1}$有解，
则$\frac{8}{15}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{8}{15}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查指数型函数的应用，结合指数方程以及指数型函数的性质是解决本题的关键．