Question

11．已知$\sqrt{lg[\frac{11}{2}-9cos（x+\frac{π}{6}）]}$≤1，则函数y=$\frac{1}{ta{n}^{2}x}$-2$\frac{1}{tanx}$+5的值域是[4，5）．

Answer 1

分析 由$\sqrt{lg[\frac{11}{2}-9cos（x+\frac{π}{6}）]}$≤1，可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，利用配方法求出函数y=$\frac{1}{ta{n}^{2}x}$-2$\frac{1}{tanx}$+5的值域．

解答 解：由题意可得：0≤lg[$\frac{11}{2}$-9cos（x+$\frac{π}{6}$）]≤1 即：1≤$\frac{11}{2}$-9cos（x+$\frac{π}{6}$）≤10，
化简为-$\frac{1}{2}$≤cos（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{1}{2}$，kπ+$\frac{1}{3}π$≤x+$\frac{π}{6}$≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$．
y=$\frac{1}{ta{n}^{2}x}$-2$\frac{1}{tanx}$+5=（cotx-1）²+4，
∴x=kπ+$\frac{π}{4}$时，有最小值y=（cot$\frac{π}{4}$-1）²+4=4，x=kπ+$\frac{π}{2}$时，有最大值y=（cot$\frac{π}{2}$-1）²+4=5，
∴函数y=$\frac{1}{ta{n}^{2}x}$-2$\frac{1}{tanx}$+5的值域是[4，5）．
故答案为：[4，5）．

点评 本题考查三角函数的值域，考查学生解不等式的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．