Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，x∈[-2，-1]，且函数f（x）在x=-1处取到最大值0．
（1）求

c

a

的取值范围；
（2）求

b2-2ac

ab-a2

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）因为函数函数f（x）在x=-1处取到最大值0，则f（-1）=a-b+c=0，可得b=a+c且-

b

2a

≤-

3

2

，即可求

c

a

的取值范围；
（2）

b2-2ac

ab-a2

=

(a+c)2-2ac

a(a+c)-a2

=

c

a

+

a

c

，利用函数的单调性求

b2-2ac

ab-a2

的最小值．

解答： 解：（1）因为函数函数f（x）在x=-1处取到最大值0，
则f（-1）=a-b+c=0，可得b=a+c且-

b

2a

≤-

3

2

，
∴-

a+c

2a

≤-

3

2

，解得

c

a

≥2；
（2）

b2-2ac

ab-a2

=

(a+c)2-2ac

a(a+c)-a2

=

c

a

+

a

c

，
因为

c

a

≥2，所以

b2-2ac

ab-a2

≥

5

2

，
所以

b2-2ac

ab-a2

的最小值

5

2

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．