Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上在第一象限内的点，如图，点P关于原点O的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴交于点C，点D为线段CQ的中点，直线AD与椭圆E的另一个交点为B，证明：点P在以AB为直径的圆上．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：2c=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），可得A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），Q（x₀，-y₀），D$（{x}_{0}，-\frac{1}{2}{y}_{0}）$．利用斜率计算公式可得k_AD=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$．直线AD的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀，与椭圆方程联立化为：$（4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$x²-6${x}_{0}{y}_{0}^{2}$x+9${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$-16${x}_{0}^{2}$=0．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$．k_PA，只要证明．k_PB•k_PA=-1，即可证明点P在以AB为直径的圆上．

解答 解：（I）由题意可得：2c=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，联立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），则A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），Q（x₀，-y₀），∴D$（{x}_{0}，-\frac{1}{2}{y}_{0}）$．
k_AD=$\frac{-\frac{{y}_{0}}{2}-（-{y}_{0}）}{{x}_{0}-（-{x}_{0}）}$=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$．∴直线AD的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}（x+{x}_{0}）-{y}_{0}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：$（4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$x²-6${x}_{0}{y}_{0}^{2}$x+9${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$-16${x}_{0}^{2}$=0．
∴x₁+（-x₀）=$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$，即x₁=x₀+$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$，
而y₁=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x₁+x₀）-y₀，∴而y₁=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$+2x₀）-y₀=$\frac{{y}_{0}^{2}-2{x}_{0}^{2}{y}_{0}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$．
∴k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=$\frac{\frac{{y}_{0}^{2}-2{x}_{0}^{2}{y}_{0}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
∴k_PA=$\frac{-{y}_{0}-{y}_{0}}{-{x}_{0}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴．k_PB•k_PA=-1，故PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的圆上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．