Question

14．设函数$f（x）=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;（k＞1）$，若对任意三个实数a，b，c（可以相同），存在一个三角形，其三边长为f（a），f（b），f（c），则k的取值范围是（1，4）．

Answer 1

分析 化简f（x），根据基本不等式的性质确定f（x）的取值范围，从而解得．

解答 解：f（x）=1+$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$，
当k＞1时，$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（当且仅当x=±1时，等号成立）；
故1≤f（x）≤1+$\frac{k-1}{3}$，
故只需使2＞$\frac{k-1}{3}$+1，
解得，k＜4；
综上所述，1＜k＜4，
故答案为：（1，4）．

点评 本题考查了函数的化简以及转化思想，同时考查了基本不等式的应用．