Question

10．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）函数g（x）=（1-a）x，若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数f（x）在区间[1，2]上是单调函数，进行求解判断即可，
（2）若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，转化为f（x）≥g（x）在区间[1，e]上有解，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$                         （2分）
当导函数f′（x）的零点x=a落在区间（1，2）内时，
函数f（x）在区间[1，2]上就不是单调函数，
所以实数a的取值范围是：a≥2或a≤1；　（6分）
（也可以转化为恒成立问题．酌情给分．）
（2）由题意知，不等式f（x）≥g（x）在区间[1，e]上有解，
即x²-2x+a（lnx-x）≥0在区间[1，e]上有解．         （7分），
∵当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x（不同时取等号），
∴lnx-x＜0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在区间[1，e]上有解．  （8分）
令　$h（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，则h′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$  （9分）
∵x∈[1，e]，∴x+2＞2≥2lnx，
∴h′（x）≥0，则h（x）单调递增，
∴x∈[1，e]时，h（x）的最大值为h（e）=$\frac{e（e-2）}{e-1}$，（11分）
∴a≤$\frac{e（e-2）}{e-1}$  
则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{e（e-2）}{e-1}]$（12分）
（也可以构造函数F（x）=x²-2x+a（lnx-x），分类讨论．酌情给分）

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的应用，根据函数单调性和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．