Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且其图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（　　）

• A． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
• B． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• C． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• D． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称

Answer 1

分析 利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
把其图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）的图象，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由于当x=$\frac{π}{12}$时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；
令x=$\frac{5π}{12}$，求得函数f（x）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故B、D不满足条件，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．